Obliczanie belek statycznie wyznaczalnych

Schemat belki – obliczenia z objaśnieniami

Celem niniejszego opracowania jest przedstawienie sposobu wyprowadzenia podstawowych równań równowagi statycznej dla belki obciążonej ciągle.

Rozpatrujemy belkę obciążoną siłami skupionymi i obciążeniem rozłożonym na powierzchni belki w różnych miejscach.

Warunkiem równowagi układu jest zerowa suma sił w kierunku pionowym oraz zerowa suma momentów względem dowolnego punktu elementu. Na tej podstawie można wyprowadzić równania różniczkowe opisujące stan równowagi belki, które stanowią podstawę do dalszej analizy sił wewnętrznych i ugięć.

qx – obciążenie ciągłe

Wyznaczamy równania równowagi statycznej.

Aby układ pozostawał w równowadze suma sił w osi y musi być równa 0. Suma sił w osi X musi być równa 0 oraz suma momentów sił działających na układ musi być równa 0.

Równowaga sił w osi Y w belce zginanej $Σ P_{y} = T - q_{x} d x - (T + d T) = 0$ Równanie równowagi sił pionowych dla belki obciążonej ciągle, uwzględniające siłę tnącą T oraz przyrost dT. …

Zależność obciążenia od siły tnącej w belce zginanej $- q_{x} = \frac{d T}{d x} \Rightarrow q_{x} = - \frac{d T}{d x}$ Zależność obciążenia ciągłego qx od pochodnej siły tnącej T po długości belki. …

Równowaga momentów w belce zginanej $Σ M_{c} = - M_{g} - q_{x} d x (\frac{1}{2} d x) + (M_{g} + d M_{g}) - (T + d T) d x = 0$ Równanie równowagi momentów dla elementu belki obciążonej ciągle. …

Uproszczone równanie równowagi momentów w belce zginanej $- \frac{q _{x}}{2} d x^{2} + d M_{g} - T d x - d T d x = 0$ Zredukowana postać równania równowagi momentów po rozwinięciu składników.

$d x^{2}$ , $d T d x$ – pochodne drugiego rzędu w przypadku zginania belki można pominąć gdyż dążą do 0

Zależność momentu gnącego od siły tnącej $d M_{g} - T d x = 0$ Równanie różniczkowe opisujące zależność między przyrostem momentu gnącego a siłą tnącą w belce. …

– pochodne drugiego rzędu w przypadku zginania belki można pominąć gdyż dążą do 0

Po wyprowadzeniu z powyższych równań sił T, RB oraz RA możemy przejść do wstawienia ich w układ

050080

050081

050082

Od prawej strony zgodnie z odcinaniem belki w przekrojach charakterystycznych, takich przed którymi nie występują inne siły. Rozkładamy układ złożony na prostsze elementy.

Siła tnąca T1 $T_{1} = - P$ Siła tnąca w pierwszym charakterystycznym przekroju belki. …

Moment gnący M1 $M_{1} = - P x_{1}$ Moment gnący w pierwszym charakterystycznym przekroju belki. …

Siła tnąca T2 $T_{2} = - P + R_{B} = - P + \frac{P l}{l - a}$ Siła tnąca w drugim charakterystycznym przekroju belki, uwzględniająca reakcję podporową RB. …

Moment gnący M2 $M_{2} = - P x_{2} + R_{B} (x_{2} - a) = - P x_{2} + \frac{P l}{l - a} (x_{2} - a) = \frac{P a ( x _{2} - l )}{l - a}$ Moment gnący w drugim charakterystycznym przekroju belki, uwzględniający obciążenie P i reakcję podporową RB. …

Naprężenia w pręcie zginanym

Wskaźnik Wytrzymałości przekroju na zginanie w osi obojętnej zginania przechodzącej przez oś z.

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie $W_{z} = \frac{J _{z}}{y _{ma x}}$ Wskaźnik wytrzymałości przekroju obliczany jako stosunek momentu bezwładności Jz do odległości najbardziej oddalonego włókna od osi obojętnej y_max. …

J_z – Moment bezwładności przekroju w osi Z.

y_max = 1/2h – jest najdalszym zginanym włóknem od osi obojętnej zginania

Naprężenia zginające (mające charakter naprężeń rozciągających bądź ściskających):

Naprężenie zginające i warunek dopuszczalny $σ_{g} = \frac{M _{g}}{W} \leq k_{g}$ Naprężenie zginające w przekroju obliczane jako stosunek momentu gnącego Mg do wskaźnika wytrzymałości przekroju W, które nie może przekraczać wartości dopuszczalnej k_g. …

Wskaźnik Wytrzymałości przekroju na zginanie w osi obojętnej zginania

Gdzie k_g – naprężenia dopuszczalne na zginanie