Jedno, dwu i trzyosiowy stan naprężeń

Jednokierunkowy stan naprężeń

Zaczynając od jednokierunkowego stanu naprężeń jako najprostszy stan

Rozpatrując wycinek efgh jako elementarny, nieskończenie mały

Wyznaczamy wartości naprężeń

Naprężenie normalne w kierunku α$${\sigma }_{\alpha }={\sigma }_{90^{\circ }+\alpha }=\sigma {\cos }^2(90^{\circ }+\alpha )=\sigma {\sin }^2\alpha$$Naprężenie normalne σ w kierunku nachylonym o kąt α względem osi układu. …

Naprężenie styczne w kierunku α$${\tau }_{{\alpha }^{\prime }}=\frac{1}{2}\sigma \sin [2(90^{\circ }+\alpha )]=\frac{1}{2}\sigma \sin (180^{\circ }+2\alpha )=-\frac{1}{2}\sigma \sin 2\alpha =-{\tau }_{\alpha }$$Naprężenie styczne τ powiązane z obrotem układu o kąt α. …

Analogicznie

Zależności analogiczne (dla innych kierunków obrotu układu)$${\sigma }_{{\alpha }^{\prime }}=\sigma {\sin }^2\alpha {\tau }_{{\alpha }^{\prime }}=-{\tau }_{\alpha }{\sigma }_{{\alpha }^{\prime \prime }}={\sigma }_{\alpha }{\tau }_{{\alpha }^{\prime \prime }}={\tau }_{\alpha }{\sigma }_{{\alpha }^{\prime \prime \prime }}=\sigma {\sin }^2\alpha {\tau }_{{\alpha }^{\prime \prime \prime }}=-{\tau }_{\alpha }$$Dla kolejnych obrotów układu współrzędnych (transformacja naprężeń w kole Mohra) wartości naprężeń normalnych i stycznych zmieniają się zgodnie z powyższymi relacjami. …

Naprężenia w dwukierunkowym stanie naprężeń, dwukierunkowy (płaski) stan naprężeń

Płaski stan naprężeń to taki który występuje w układach dwuwymiarowych. Ma zastosowanie np. dla przypadku układu płyt cienkich, w których wymiar głębokości (grubości) można pominąć.

Rozpatrzmy płaską blachę:

Płaski stan naprężeń można rozważyć jako złożenie (superpozycję) dwóch stanów jednokierunkowych w dwóch osiach.

Gdzie:

Superpozycja stanów dla płaskiego stanu naprężeń$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{\alpha }^{\prime }& ={\sigma }_1{\cos }^2\alpha \\ {\sigma }_{\alpha }^{\prime \prime }& ={\sigma }_2{\sin }^2\alpha \\ {\tau }_{\alpha }^{\prime }& =\frac{1}{2}{\sigma }_1\sin 2\alpha \\ {\tau }_{\alpha }^{\prime \prime }& =-\frac{1}{2}{\sigma }_2\sin 2\alpha \\ \Rightarrow {\sigma }_{\alpha }& ={\sigma }_{\alpha }^{\prime }+{\sigma }_{\alpha }^{\prime \prime }={\sigma }_1{\cos }^2\alpha +{\sigma }_2{\sin }^2\alpha \\ {\tau }_{\alpha }& ={\tau }_{\alpha }^{\prime }+{\tau }_{\alpha }^{\prime \prime }=\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_2)\sin 2\alpha \end{array}$$Płaski stan naprężenia (ang. plane stress state) można rozłożyć na dwie proste składowe — dwa stany jednokierunkowe działające niezależnie w osiach $x_1$ i $x_2$.
Każdy z tych stanów wytwarza na dowolnej płaszczyźnie obróconej o kąt $\alpha$ własne składowe naprężeń: normalną ${\sigma }^{\prime }\alpha$ oraz styczną ${\tau }^{\prime }\alpha$.

Po dodaniu (superpozycji) obu stanów otrzymuje się całkowite naprężenia działające na płaszczyznę o nachyleniu $\alpha$:

naprężenie normalne:
${\sigma }_{\alpha }={\sigma }_1{\cos }^2\alpha +{\sigma }_2{\sin }^2\alpha$

naprężenie styczne:
${\tau }_{\alpha }=\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_2)\sin 2\alpha$

Trzyosiowy stan naprężeń

Rozpatrzmy sześcienną kostkę reprezentującą przestrzenny stan naprężeń

Zakładając, że σ1 ≥σ2 ≥ σ3 oraz uwzględniając naprężenia na kostce w układzie kartezjańskim